1.3 測度

$S$ を集合、$\emptyset \in \mathcal{A} \subset 2^S$、$\mu: \mathcal{A} \to [0,\infty]$ とする．

定義: 測度

加法族 $\mathcal{A}$ と $\mu$ の組 $(\mathcal{A}, \mu)$ に対し以下の条件を考える：

• 非負性：$$\tag{1} \quad \text{すべての } A \in \mathcal{A} \text{ に対し,} \quad 0 = \mu(\emptyset) \leq \mu(A) \leq \infty$$
• 可算加法性：$$\tag{2} \quad \{A_n\}_{n \geq 0} \subset \mathcal{A}, \ A_0 = \sum_n A_n \implies \mu(A_0) = \sum_n \mu(A_n)$$

$\mathcal{A}$ が $\sigma$-加法族で $\mu$ が (2) を満たすとき、$(\mathcal{A}, \mu)$ を（あるいは単に $\mu$ を）測度と呼ぶ。

また、$(S, \mathcal{A})$ が可測空間、$(\mathcal{A}, \mu)$ が測度なら、$(S, \mathcal{A}, \mu)$ を測度空間と呼ぶ。

例：一次元の区間の長さ

$a, b \in \mathbb{R}$ $(a \leq b)$ を端点とする区間 $I$ の長さを $\mu(I) = b - a$ と定義すると、

なら、$(0,1) = \displaystyle\sum_n A_n$ より

定義1.3.3

$(\mathcal{A}, \mu)$ に対し，

• 有限加法性：$$(1.10) \quad 2 \leq m \in \mathbb{N}, \ \{A_n\}_{n=0}^{m} \subset \mathcal{A}, \ A_0 = \sum_{n}^{m} A_n \text{ なら,}$$$$\mu(A_0) = \sum_{n}^{m} \mu(A_n).$$
• 有限劣加法性：$$(1.11) \quad 2 \leq m \in \mathbb{N}, \ \{A_n\}_{n=0}^{m} \subset \mathcal{A}, \ A_0 = \bigcup_{n}^{m} A_n \text{ なら,}$$$$\mu(A_0) \leq \sum_{n}^{m} \mu(A_n).$$
• 単調性：$$(1.12) \quad A_1, A_2 \in \mathcal{A} \text{ かつ } A_1 \subset A_2 \text{ なら,} \quad \mu(A_1) \leq \mu(A_2).$$
• 可算劣加法性：$$(1.13) \quad \{A_n\}_{n \geq 0} \subset \mathcal{A}, \ A_0 = \bigcup_{n \geq 1} A_n \text{ なら,} \quad \mu(A_0) \leq \sum_{n} \mu(A_n).$$
• 増大列連続性：$$(1.14) \quad \{A\} \cup \{A_n\}_{n \geq 1} \subset \mathcal{A}, \ A_n \nearrow A \text{ なら,} \quad \lim_{n} \mu(A_n) = \mu(A).$$
• 減少列連続性：$$(1.15) \quad \{A\} \cup \{A_n\}_{n \geq 1} \subset \mathcal{A}, \ A_n \searrow A, \ \mu(A_1) < \infty \text{ なら,}$$$$\lim_{n} \mu(A_n) = \mu(A).$$

定理：ルベーグ測度

次を満たす測度 $(\mathcal{B}(\mathbb{R}^d), \mu)$ が唯一つ存在する：

証明はここでは省略。

例：超平面の速度は0になる

$H \subset \mathbb{R}^d$ が座標軸に垂直な超平面，つまり

と書けるなら，$\mu(H) = 0$．

証明

簡単のため $i=1$ とする．$m, n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$，さらに

とする．$m$ を固定し，$n \nearrow \infty$ とすれば，$H_{m,n} \searrow H_m$．かつ

したがって，減少列連続性より

$\blacksquare$